命題(正規型常微分方程式の解の存在と一意性およびパラメータに関する微分可能性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
R を実数体とする。
Ω を R×E×F の開集合とする。
f: Ω → E を次の条件 (C) を満たす連続写像とする。

(C) Ω の各点 (t, x, μ) で (d_2)f(t, x, μ) および
(d_3)f(t, x, μ) が存在し、それぞれ Ω 上で連続である。
ここで、(d_2)f(t, x, μ), (d_3)f(t, x, μ) は
それぞれ x, μ に関する偏微分である(過去スレ014の833)。

(t_0, x_0, μ_0) を Ω の任意の点とする。

このとき (t_0, x_0, μ_0) の開近傍 J×U×V ⊂ Ω
及び連続写像 g: J×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。
ここで、J は開区間であり、U, V はそれぞれ E, F の開集合である。

a) g(J×V) ⊂ U

b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0

c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

d) J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) が存在し、
任意の μ ∈ V に対して t → (d_2)g(t, μ) は
次の微分方程式の解 Ψ(t): J → L(F, E) である。

dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)

(続く)