>>602の続き

ε ＜ 1 であるから、A = 1 + sup{|α(t, 0)|; t ∈ [r_1, r_2]} とおけば、
|h| ＜ δ なら任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して |α(t, h)| ≦ A

B = sup{|ψ(t, p)|; t ∈ [r_1, r_2]} とおく。

以上から、|h| ＜ δ のとき
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|
≦ |∫[t_0, t_1] A|g(t, p + h) - g(t, p) - ψ(t, p)h| dt|
+ εB|h||t_1 - t_0|
+ ε|h||t_1 - t_0|

拡張されたGronwall の不等式の系１(>>589)より、|h| ＜ δ のとき
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|
≦ ε|h|(B + 1)|t_1 - t_0|exp(A|t_1 - t_0|)

よって、
h ≠ 0, |h| → 0 のとき、
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|/|h| → 0

よって、
(d_2)g(t_1, p) = ψ(t_1, p)
証明終