>>601の続き

一方、任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して
f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p)
= f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p + h)
+ f(t, g(t, p), p + h) - f(t, g(t, p), p)

よって、(3), (4), (5) より
g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h
= ∫[t_0, t_1] α(t, h)(g(t, p + h) - g(t, p)) dt
+ ∫[t_0, t_1] β(t, h)h dt
- ∫[t_0, t_1] (d_2)f(t, g(t, p), p)ψ(t, μ)h dt
- ∫[t_0, t_1] (d_3)f(t, g(t, p), p)h dt

= ∫[t_0, t_1] α(t, h)(g(t, p + h) - g(t, p) - ψ(t, p)h) dt
+ ∫[t_0, t_1] (α(t, h) - α(t, 0))ψ(t, p)h dt
+ ∫[t_0, t_1] (β(t, h) - β(t, 0))h dt

よって、
|g(t_1, p + h) - g(t_1, p) - ψ(t_1, p)h|
≦ |∫[t_0, t_1]|α(t, h)||g(t, p + h) - g(t, p) - ψ(t, p)h|dt|
+ |∫[t_0, t_1]|α(t, h) - α(t, 0)||ψ(t, p)||h| dt|
+ |∫[t_0, t_1]|β(t, h) - β(t, 0)||h| dt|

>>535より、1 ＞ ε ＞ 0 となる任意の ε に対して
b ＞ δ ＞ 0 となる δ があり、|h| ＜ δ なら
任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して |α(t, h) - α(t, 0)| ≦ ε
および |β(t, h) - β(t, 0)| ≦ ε

(続く)