>>600の続き

α(t, h) = ∫[0, 1](d_2)f(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p)), p + h)ds
とおけば、

f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p)
= α(t, h)(g(t, p + h) - g(t, p)) ← (4)

(s, t, h) → (d_2)f(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p)), p + h) は
[0, 1]×[r_1, r_2]×W(0, b) から L(E, E) への連続写像である。
よって、>>593より、α(t, h): [r_1, r_2]×W(0, b) → L(E, E) は連続であり、
α(t, 0) = (d_2)f(t, g(t, p), p) である。

同様に任意の (s, t, h) ∈ [0, 1]×[r_1, r_2]×W(0, b) に対して
(t, g(t, p), p + sh) ∈ J×U×V となる。
よって、ω(s) = f(t, g(t, p), p + sh) が s ∈ [0, 1] で定義される。

よって、
f(t, g(t, p), p + h) - f(t, g(t, p), p)
= ∫[0, 1] dω/ds ds
= ∫[0, 1] (d_3)f(t, g(t, p), p + sh)h ds

β(t, h) = ∫[0, 1] (d_3)f(t, g(t, p), p + sh) ds
とおけば、

f(t, g(t, p), p + h) - f(t, g(t, p), p) = β(t, h)h ← (5)

>>593より、
β(t, h): [r_1, r_2]×W(0, b) → L(F, E) は連続であり、
β(t, 0) = (d_3)f(t, g(t, p), p) である。

(続く)