>>599の続き

t_0, t_1 ∈ J であるから r_1 ＜ t_0, t_1 ＜ r_2 かつ [r_1, r_2] ⊂ J となる
有限区間 [r_1, r_2] がある。

[r_1, r_2] はコンパクトで t → g(t, p) は連続さから
Δ = {g(t, p); t ∈ [r_1, r_2]} はコンパクトで Δ ⊂ U である。
E - U は閉集合であるから>>596より実数 a ＞ 0 があり、
Γ = {x ∈ E; d(x, Δ) ＜ a} とおくと Γ は Δ を含む開集合であり、
Γ ⊂ U となる。
ここで、d(x, Δ) = inf {|x - y|; y ∈ Δ} である。
Δ はコンパクトだから d(x, Δ) = |y - x| となる y ∈ Δ がある。
よって、Γ = {x ∈ E; |x - y| ＜ a となる y ∈ Δ がある}

Γ ⊂ U であるから [r_1, r_2]×Γ×W(p, b) ⊂ J×U×V である。

>>535より、b ＞ 0 を十分小さくとって、|h| ＜ b なら
任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して |g(t, p + h) - g(t, p)| ＜ a と出来る。
よって、s ∈ [0, 1] のとき任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して
g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p)) ∈ Γ

よって、任意の (s, t, h) ∈ [0, 1]×[r_1, r_2]×W(0, b) に対して、
(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p), p + h) ∈ J×U×V となる。
よって、φ(s) = f(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p), p + h) が
よって、
f(t, g(t, p + h), p + h) - f(t, g(t, p), p)
= ∫[0, 1] dφ/ds ds
= ∫[0, 1](d_2)f(t, g(t, p) + s(g(t, p + h) - g(t, p)), p + h)(g(t, p + h) - g(t, p))ds

(続く)