h(a, b) = (a, f(a, b)) = (a, 0) である。
x ∈ V のとき、ψ(x, 0) = (x, g(x)) とおく。
σ: V → E×G を σ(x) = (x, 0) により定義する。
ρ: E×F → F を ρ(x, y) = y により定義する。
g = ρψσ である。
σ と ρ は連続な線型写像であるからC^∞級である。
よって、合成関数の微分規則(>>803)より、g はC^r級である。

ψh(a, b) = (a, b)
ψh(a, b) = ψ(a, 0) = (a, g(a))
よって、g(a) = b

h(ψ(x, 0)) = (x, 0)
h(ψ(x, 0)) = h(x, g(x)) = (x, f(x, g(x)))
よって、f(x, g(x)) = 0

(x, y) ∈ V×W のとき f(x, y) = 0 とする。
h(x, y) = (x, 0) となる。
この両辺に ψ を作用させて
ψh(x, y) = ψ(x, 0) = (x, g(x))

一方、ψh(x, y) = (x, y)
よって、y = g(x)

以上で 1) と 2) が示された。
証明終