>>597の証明

過去スレ014の829より、L(F, E) はBanach空間である。

任意の μ ∈ V と任意の (t, T) ∈ J×L(F, E) に対して
h_μ(t, T) = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)T + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)
とおく。
h_μ: J×L(F, E) → L(F, E) である。

任意の μ ∈ V と任意の t ∈ J と任意の T, S ∈ L(F, E) に対して
|h_μ(t, T) - h_μ(t, S)| ≦ |(d_2)f(t, g(t, μ), μ)||T - S|

よって、>>483より、任意の μ ∈ V に対して微分方程式
dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)
の解 Ψ_μ(t): J → L(F, E) で Ψ_μ(t_0) = 0 となるものが一意に存在する。
ψ(t, μ) = Ψ_μ(t) と書く。

J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) = ψ(t, μ) を証明すればよい。

J×V の任意の点 (t_1, p) を固定する。
W(p, b) ⊂ V となる b ＞ 0 をとる。
ここで、W(p, b) = {μ ∈ F; |μ - p| ＜ b} である。
h を W(0, b) = {μ ∈ F; |μ| ＜ b} の任意の元とする。

∫[t_0, t_1] (dg/dt)(t, p + h) dt
= g(t_1, p + h) - g(t_0, p + h)
= g(t_1, p + h) - x_0

∫[t_0, t_1] (dg/dt)(t, p) dt
= g(t_1, p) - g(t_0, p)
= g(t_1, p) - x_0
(続く)