補題
(X, d) を距離空間とする。
A を X の空でない閉集合とする。
C を X のコンパクト集合とする。
A ∩ C = φ とする。

このとき実数 r ＞ 0 があり、
U = {x ∈ X; d(x, C) ＜ r} とおくと U は C を含む開集合であり、
U ∩ A = φ となる。
ここで、d(x, C) = inf {d(x, y); y ∈ C} である。

証明
x ∈ X に対して d(x, A) = inf {d(x, a); a ∈ A} とおく
>>594より、x → d(x, A) は X 上で連続である。
C はコンパクトだから x → d(x, A) は C 上で最小値 d(x_0, A) をとる。
>>595より d(x_0, A) ＞ 0 である。
0 ＜ r ＜ d(x_0, A) となる r をとり、U = {x ∈ X; d(x, C) ＜ r} とおく。

>>594より、U は開集合である。
C ⊂ U は明らかである。

U ∩ A ≠ φ と仮定して矛盾を導く。
a ∈ U ∩ A とする。
C はコンパクトだから d(a, C) = d(a, x_1) となる x_1 ∈ C がある。
d(x_0, A) ≦ d(x_1, A) ≦ d(a, x_1) = d(a, C) ＜ r

これは r ＜ d(x_0, A) に矛盾。
証明終