補題
(X, d) を距離空間とする。
A を X の閉集合とする。

x ∈ X - A のとき d(x, A) = inf{d(x, a); a ∈ A} ＞ 0 である。

証明
d(x, A) = 0 とする。
A の元からなる点列 (a_n), n = 1, 2, ... があり lim a_n = x となる。
A は閉集合だから x ∈ A となり矛盾である。
証明終