補題
K を実数体または複素数体とする。
X を位相空間とし、E を K 上のBanach空間する。
I = [a, b] を有限閉区間とする。
f: I×X → E を連続写像とする。

任意の x ∈ X に対して
g(x) = ∫[a, b] f(t, x) dt とおく。

このとき g: X → F は連続である。

証明
x_0 を X の任意の点とする。
>>535より、任意の ε ＞ 0 に対して x_0 の開近傍 U があり、
任意の x ∈ U と任意の t ∈ I に対して
|f(t, x) - f(t, x_0)| ＜ ε となる。

よって、任意の x ∈ U に対して
|g(x) - g(x_0)| = |∫[a, b] (f(t, x) - f(t, x_0)) dt|
≦ ∫[a, b] |f(t, x) - f(t, x_0)| dt
≦ ε(b - a)

よって、g は x_0 で連続である。
証明終