補題(拡張されたGronwall の不等式の系２)
I = [a, b) を実数体における区間とする(-∞ ＜ a ＜ b ≦ +∞)。
f(t) を I で連続な実数値関数で
A, B, C を実定数で A ＞ 0 とする。

I の各点 t で
f(t) ≦ ∫[a, t] (Af(s) + B) ds + C とする。

このとき、I の各点 t で
f(t) ≦ C exp(A(t - a)) + (B/A)exp(A(t - a) - 1)

証明
I の各点 t で
g(t) = f(t) + B/A とおく。

I の各点 t で
g(t) ≦ ∫[a, t] Ag(s) ds + C + B/A である。

>>589より、
g(t) ≦ (C + B/A)exp(∫[a, t] A ds) = (C + B/A)exp(A(t - a))

よって、
f(t) ≦ (C + B/A)exp(A(t - a)) - B/A = C exp(A(t - a)) + (B/A)exp(A(t - a) - 1)
証明終