定理(陰関数定理)
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のBanach空間とする。

U ⊂ E×F を開集合とし、
f: U → G をC^r級(r ≧ 1)とする。

(a, b) ∈ U において f(a, b) = 0 とし、
第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)f(a, b): F → G が位相同型とする。

このとき、(a, b) ∈ V×W ⊂ U となる a の開近傍 V と b の開近傍 W
及び C^r級の g: V → W が存在し、

1) g(a) = b
2) (x, y) ∈ V×W のとき f(x, y) = 0 ⇔ y = g(x)

証明
h: U → E×G を h(x, y) = (x, f(x, y)) により定義する。
>>58より、dh(a, b) : E×F → E×G は位相同型である。

>>57より、(a, b) ∈ V×W ⊂ U となる a の開近傍 V と b の開近傍 W が存在し、
h|V×W はC^r級の逆写像 ψ を持つ。

(続く)