>>581の続き

(4), (9), (6), (7) より、
|g(t, μ + h) - g(t, μ) - ψ(t, μ)h|
≦ |∫[t_0, t] α(s, h) ds|
+ |∫[t_0, t] β(s, h) ds|
+ |∫[t_0, t] γ(s, h) ds|
+ |∫[t_0, t] λ(s, h) ds|

≦ (ε|h|AL/C)exp(C|t - t_0|)
+ ε|h||t - t_0|
+ ε|h|M|t - t_0|
+ |∫[t_0, t] |(d_2)f(s, g(s, μ), μ + h)||g(s, μ + h) - g(s, μ) - ψ(s, μ)h| ds|

≦ (ε|h|AL/C)exp(C|t - t_0|)
+ ε|h||t - t_0|
+ ε|h|M|t - t_0|
+ |∫[t_0, t] |(d_2)f(s, g(s, μ), μ + h)||g(s, μ + h) - g(s, μ) - ψ(s, μ)h| ds|

>>535より、任意の |h| ＜ δ なら
任意の s ∈ J に対して |(d_2)f(s, g(s, μ), μ + h) - (d_2)f(s, g(s, μ), μ)| ＜ 1
と仮定してよい。

よって、任意の s ∈ J に対して |(d_2)f(s, g(s, μ), μ + h)| ≦ B
ここで、B = 1 + sup{|(d_2)f(s, g(s, μ), μ)|; s ∈ J}

よって、
|g(t, μ + h) - g(t, μ) - ψ(t, μ)h|
≦ (ε|h|AL/C)exp(CL) + ε|h|L + ε|h|ML
+ B|∫[t_0, t] |g(s, μ + h) - g(s, μ) - ψ(s, μ)h| ds|

(続く)