補題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。
U ⊂ E×F を開集合とし、
f: U → G をC^r級(r ≧ 1)とする。
(a, b) ∈ U において第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)f(a, b): F → G が
位相同型とする。

h: U → E×G を h(x, y) = (x, f(x, y)) により定義する。

このとき、dh(a, b) : E×F → E×G は位相同型である。

証明
g: U → E を g(x, y) = x で定義する。
h = g×f である。
dh = dg×df
よって、
dh(a, b) = (dg×df)(a, b) = (dg(a, b), df(a, b))

よって、(v, w) ∈ E×F のとき、
dh(a, b)(v, w) = (dg(a, b)(v, w), df(a, b)(v, w)) = (v, df(a, b)(v, w))
= (v, (d_1)f(a, b)v + (d_2)f(a, b)w)

dh(a, b)(v, w) = (s, t) ∈ E×G とすると、
v = s
(d_1)f(a, b)s + (d_2)f(a, b)w = t
よって、(v, w) は (s, t) により一意に決まる。
よって、dh(a, b) は全単射である。

(d_1)f(a, b)と((d_2)f(a, b))^(-1) は連続であるから
dh(a, b) の逆写像も連続である。
証明終