>>576の証明

過去スレ014の829より、L(F, E) はBanach空間である。

任意の μ ∈ V と任意の (t, T) ∈ J×L(F, E) に対して
h_μ(t, T) = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)T + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)
とおく。
h_μ: J×L(F, E) → L(F, E) である。

任意の μ ∈ V と任意の t ∈ J と任意の T, S ∈ L(F, E) に対して
|h_μ(t, T) - h_μ(t, S)| ≦ |(d_2)f(t, g(t, μ), μ)||T - S|

よって、>>483より、任意の μ ∈ V に対して微分方程式
dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)
の解 Ψ_μ(t): J → L(F, E) で Ψ_μ(t_0) = 0 となるものが一意に存在する。
ψ(t, μ) = Ψ_μ(t) と書く。

J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) = ψ(t, μ) を証明すればよい。

J×V の任意の点 (t, μ) を固定する。
W(μ, r) ⊂ V となる r ＞ 0 をとる。
ここで、W(μ, r) = {ν ∈ F; |ν - μ| ＜ r}
h を W(μ, r) の任意の元とする。

(続く)