命題(>>561の修正)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間する。
U を E の開集合とし、V を F の開集合とする。
I を実数体 R の開区間とする。
f: I×U×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

1) C ＞ 0 があり、任意の (t, μ) ∈ I×V と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ C|x - y| となる。

2) I×U×V の各点 (t, x, μ) で (d_2)f(t, x, μ) および
(d_3)f(t, x, μ) が存在し、それぞれ I×U×V 上で連続である。
ここで、(d_2)f(t, x, μ), (d_3)f(t, x, μ) は
それぞれ x, μ に関する偏微分である(過去スレ014の833)。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。
J を t_0 を含む有限開区間でその閉包 J~ ⊂ I とする。
g: J×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

a) g(J×V) ⊂ U
b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0
c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

このとき、J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) が存在し、
任意の μ ∈ V に対して t → (d_2)g(t, μ) は
次の微分方程式の解 Ψ(t): J → L(F, E) である。

dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)

(続く)