補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間する。
I を R の開区間とし、U を F の開集合とする。
f: I×U → E を連続写像とする。
さらに I×U の各点 (t, x) で (d_2)f(t, x) が存在し、I×U 上で連続であるとする。
ここで、(d_2)f(t, x) は x に関する偏微分である(過去スレ014の833)。

J ⊂ I を有限開区間で J~ ⊂ I とする。
ここで、J~ は J の R における閉包である。

x_0 を U の任意の点とする。

U(x_0, r) ⊂ U となる r ＞ 0 をとる。
ここで、U(x_0, r) = {x ∈ F; |x - x_0| ＜ r} である。

このとき、任意の ε ＞ 0 に対して r ＞ δ ＞ 0 となる δ があり
任意の t ∈ J と |h| ＜ δ となる任意の h ∈ F に対して
|f(t, x_0 + h) - f(t, x_0) - (d_2)f(t, x_0)h| ≦ ε|h| となる。

証明
J~ はコンパクトであるから>>535より、
任意の ε ＞ 0 に対して r ＞ δ ＞ 0 となる δ があり
任意の t ∈ J と |h| ＜ δ となる任意の h ∈ E と
任意の s ∈ [0, 1] に対して、
|(d_2)f(t, x_0 + sh) - (d_2)f(t, x_0)| ＜ ε となる。

(続く)