>>56をやや一般にする。
定理(逆写像定理)
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のBanach空間とする。
E から F の線型写像で位相同型であるもの全体を GL(E, F) と書く。
U を E の開集合とし、f : U → F をC^r級(r ≧ 1)とする。
ある p ∈ U において df(p) ∈ GL(E, F) とする。

このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f を V に制限した写像 f|V は V から f(V) への
位相同型となる。
さらに、f|V の逆写像 h はC^r級である。
さらに、x ∈ V において dh(f(x)) = (df(x))^(-1) となる。

証明
g(x) = df(p)^(-1)(f(p + x) - f(p)) とおく。
g は 0 の開近傍から E へのC^r級写像である。
g(0) = 0 であり、dg(0) = I である。
よって、>>54より、g は 0 の近傍でC^r級の逆写像を持つ。
g は f と線型同型の合成であるから f は p の近傍でC^r級の逆写像 h を持つ。

x ∈ V のとき、h(f(x)) = x
よって、
dh(f(x))df(x) = I

x ∈ V, y = f(x) のとき、f(h(y)) = y
よって、
df(h(y))dh(y) = I
即ち、
df(x)dh(f(x))) = I
よって、dh(f(x)) = (df(x))^(-1)
証明終