>>561の証明

任意の μ ∈ V と任意の (t, T) ∈ J×L(F, E) に対して
h_μ(t, T) = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)T + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)
とおく。
h_μ: J×L(F, E) → L(F, E) である。

任意の t ∈ J と任意の T, S ∈ L(F, E) に対して
|h_μ(t, T) - h_μ(t, S)| ≦ |(d_2)f(t, g(t, μ), μ)||T - S|

よって、>>483より、任意の μ ∈ V に対して微分方程式
dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)
の解 Ψ_μ(t): J → L(F, E) で Ψ_μ(t_0) = 0 となるものが一意に存在する。
ψ(t, μ) = Ψ_μ(t) と書く。

J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) = ψ(t, μ) を証明すればよい。

J×V の任意の点 (t, μ) を固定する。
h ∈ V を 0 に十分近い元とする。

∫[t_0, t] (dg/ds)(s, μ + h) ds
= g(t, μ + h) - g(t_0, μ + h)
= g(t, μ + h) - x_0

∫[t_0, t] (dg/ds)(s, μ) ds
= g(t, μ) - g(t_0, μ)
= g(t, μ) - x_0

よって、
∫[t_0, t] ((dg/ds)(s, μ + h) - (dg/ds)(s, μ)) ds = g(t, μ + h) - g(t, μ)

(続く)