次の補題は>>460の変種であるが f の有界性を仮定しない利点がある。

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を次の条件を満たす連続写像とする。

1) C ＞ 0 があり、任意の t ∈ I と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ C|x - y| となる。

t_0 を I の任意の点とし、J ⊂ I を t_0 を含む開区間とする。

x(t) と y(t) を微分方程式 dψ/dt = f(t, ψ(t)) の解で J を定義域とする。

このとき、任意の t ∈ J に対して
|x(t) - y(t)| ≦ exp(C|t - t_0|)|x(t_0) - y(t_0)|

証明
任意の t ∈ J に対して
x(t) - x(t_0) = ∫[t_0, t] dx/ds ds = ∫[t_0, t] f(s, x(s)) ds
y(t) - y(t_0) = ∫[t_0, t] dy/ds ds = ∫[t_0, t] f(s, y(s)) ds

よって、
|x(t) - y(t)| ≦ |x(t_0) - y(t_0)| + |∫[t_0, t] |f(s, x(s)) - f(s, y(s))| ds|
≦ |x(t_0) - y(t_0)| + C |∫[t_0, t] |x(s) - y(s)| ds|

積分版の Gronwall の不等式(>>406)を t の関数 |x(t) - y(t)| と
C に適用して、

|x(t) - y(t)| ≦ exp(C|t - t_0|)|x(t_0) - y(t_0)|
証明終