>>544の続き

このとき t_0 を含む開区間 J ⊂ I と x_0 の近傍 W ⊂ Uがあり
連続写像 g: J×W×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) g(J×W×V) ⊂ U
b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, x, μ) = x
c) 任意の (x, μ) ∈ W×V に対して写像 t → g(t, x, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

d) J×W×V の各点 (t, x, μ) で (d_2)g(t, x, μ) が存在し、
(d_2)g(t, x, μ) は J×W×V 上で連続である。

e) J×W×V の各点 (t, x, μ) で (d_3)g(t, x, μ) が存在し、
(d_3)g(t, x, μ) は J×W×V 上で連続である。

証明
>>528より、t_0 を含む開区間 J ⊂ I と x_0 の近傍 W ⊂ Uがあり
連続写像 g: J×W×V → E で a), b), c) を満たすものが存在する。
>>528の証明から J は有限開区間でその閉包 J~ ⊂ I と仮定してよい。

写像 h(t, x, μ): I×U×V → E×F を
h(t, x, μ) = (f(t, x, μ), 0) により定義する。

>>541において E を E×F で置き換えれば、h(t, x, μ) は
>>541の 1), 2), 3) を満たしている。

(続く)