>>534で述べたことを証明する。

>>458の証明より、J は有限開区間で J~ ⊂ I と仮定してよい。

>>538より、任意の ε ＞ 0 に対して σ ＞ 0 があり
任意の t ∈ J と |h| ＜ σ となる任意の h ∈ E に対して
|f(t, x + h) - f(t, x) - (d_2)f(t, x)h| ≦ ε|h| となる。

>>462より、J×V から U への写像 (t, x) → g(t, x) は
x に関して t に無関係に一様連続である。
よｔって、δ ＞ 0 があり、|h| ＜ δ なら
任意の s ∈ J に対して |g(s, x + h)) - f(s, g(s, x)| ＜ σ
よって、
|f(s, g(s, x + h)) - f(s, g(s, x)) - (d_2)f(s, g(s, x))(g(s, x + h) - g(s, x))|
＜ ε|g(s, x + h) - g(s, x)|