補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とする。
X と Y を位相空間とし、Y はコンパクトとする。
f: X×Y → E を連続写像とする。
x_0 を X の点とする。

このとき、任意の ε ＞ 0 に対して x_0 の開近傍 U があり、
任意の x ∈ U と任意の y ∈ Y に対して
|f(x, y) - f(x_0, y)| ＜ ε となる。

証明
f は連続であるから、各 y ∈ Y に対して
y の開近傍 V_y と x_0 の開近傍 U_y があり、
任意の (x, z) ∈ (U_y)×(V_y) に対して
|f(x, z) - f(x_0, y)| ＜ ε/2 となる。

Y はコンパクトだから Y の有限個の点 y_1, ..., y_n があり
V_(y_1), ..., V_(y_n) は Y の被覆となる。
U = U_(y_1)∩...∩U_(y_n) とおく。

任意の z ∈ Y に対して z ∈ V_(y_i) となる i がある。
任意の x ∈ U に対して x ∈ U_(y_i) であるから
|f(x, z) - f(x_0, y_i)| ＜ ε/2 となる。

x_0 ∈ U であるから |f(x_0, z) - f(x_0, y_i)| ＜ ε/2 である。

よって、
|f(x, z) - f(x_0, z)|
≦ |f(x, z) - f(x_0, y_i)| + |f(x_0, z) - f(x_0, y_i)| ＜ ε
証明終