>>530の続き

よって、任意の (t, x, μ), (s, y, ν) ∈ J×W×V に対して、
|g(t, x, μ) - g(s, y, ν)|
≦ |g(t, x, μ) - g(t, y, ν)| + |g(t, y, ν) - g(s, y, ν)|
≦ ((C|x - y| + ρ(μ, ν))/C)(exp(C|t - t_0|) - 1) + |x - y| + M|t - s|
≦ ((C|x - y| + ρ(μ, ν))/C)(exp(Cd) - 1) + |x - y| + M|t - s|
≦ A|x - y| + Bρ(μ, ν) + M|t - s|

ここで、d は J の幅であり、
A = C(exp(Cd) - 1) + 1
B = (1/C)(exp(Cd) - 1)
である。

f(t, x, μ) は連続であるから、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
|μ - ν| ＜ δ なら ρ(μ, ν) ≦ ε となる。

よって上の不等式から g(t, x, μ) は J×W×V で一様連続である。
証明終