>>528の証明

I(t_0, a) ⊂ I となる a ＞ 0 を任意にとる。
ここで、I(t_0, a) = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ a} である。

U(x_0, r) ⊂ U となる r ＞ 0 を任意にとる。
ここで、U(x_0, r) = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r} である。

W = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r/2} とおく。
y を W の任意の点とする。

μ ∈ V を固定し、写像 (t, x) → f(t, x, μ) に>>499を適用する。
U(y, r/2) = {x ∈ E; |x - y| ＜ r/2} とおく。
U(y, r/2) ⊂ U であるから
>>499より、t_0 を含む開区間 J = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ d} ⊂ I があり、
写像 h: J → E で次の条件を満たすものが一意に存在する。

a) h(J) ⊂ U
b) h(t_0) = y
c) 写像 t → h(t) は微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

>>499の証明より開区間 J の幅 d は定数 a, r, M のみで決まり、
y および μ の選び方によらない。
よって、写像 g: J×W×V → E を g(t, y, μ) = h(t) で定義する。

g が連続であることを証明すればよい。

1) より、f は I×U×V 上で有界であるから、
μ, ν ∈ V のとき、f(t, x, μ) - f(t, x, ν) は I×U 上で有界である。
よって、
ρ(μ, ν) = sup{|f(t, x, μ) - f(t, x, ν)|; (t, x) ∈ I×U} ＜ +∞ である。
(続く)