>>523の続き

(t, x) を J×V の任意の点とし、これを固定する。
h ∈ E を 0 に十分近い元で x + h ∈ V とする。

∫[t_0, t] (dg/ds)(s, x + h) ds = g(t, x + h) - g(t_0, x + h)
= g(t, x + h) - (x + h)

∫[t_0, t] (dg/ds)(s, x) ds = g(t, x) - g(t_0, x) = g(t, x) - x

∫[t_0, t] (dψ/ds)(s, x)h ds = ψ(t, x)h - ψ(t_0, x)h = ψ(t, x)h - h

よって、
g(t, x + h) - g(t, x) - ψ(t, x)h
= ∫[t_0, t] ((dg/ds)(s, x + h) - (dg/ds)(s, x)) ds
- ∫[t_0, t] (dψ/ds)(s, x)h ds

= ∫[t_0, t] f(s, g(s, x + h)) - f(s, g(s, x)) ds
- ∫[t_0, t] (d_2)f(s, g(s, x))ψ(s, x)h ds

= ∫[t_0, t] (d_2)f(s, g(s, x))(g(s, x + h) - g(s, x) - ψ(s, x)h) ds
+ ∫[t_0, t] (f(s, g(s, x + h)) - f(s, g(s, x))
- (d_2)f(s, g(s, x))(g(s, x + h) - g(s, x))) ds

f(s, g(s, x + h)) - f(s, g(s, x)) - (d_2)f(s, g(s, x))(g(s, x + h) - g(s, x))
= ρ(h)(g(s, x + h) - g(s, x))
とおく。

(続く)