>>522の証明

>>458より、x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
各 x ∈ V に対して J から U への写像 t → g(t, x) で
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の解であり g(t_0, x) = x となるものが
一意に存在する。

>>462より、J×V から U への写像 (t, x) → g(t, x) は連続かつ
x に関して一様連続である。

(t, x) ∈ J×V に対し (d_2)f(t, g(t, x)) ∈ L(E, E) である。
ここで、L(E, E) は E から E への連続線型写像を表す。

T ∈ L(E, E) に対して T と (d_2)f(t, g(t, x)) の合成写像
(d_2)f(t, g(t, x))T は L(E, E) の元である。
よって、T → (d_2)f(t, g(t, x))T は L(E, E) から L(E, E) への写像である。

パラメータ x を持った微分方程式 dT/dt = (d_2)f(t, g(t, x))T を考える。
任意の (t, x) ∈ J×V と任意の T, S ∈ L(E, E) に対して
|(d_2)f(t, g(t, x))T - (d_2)f(t, g(t, x))S| ≦ |(d_2)f(t, g(t, x))||T - S|

x ∈ V を固定したとき、3) より t → (d_2)f(t, g(t, x)) は I で連続である。
>>483より、微分方程式 dT/dt = (d_2)f(t, g(t, x))T の解 ψ(t, x) で
ψ(t_0, x) = 1_E となるものが一意に存在する。

I は局所コンパクトであるから t → (d_2)f(t, g(t, x)) は I で局所有界である。
よって、上の不等式から (t, x, T) → (d_2)f(t, g(t, x))T は
T に関して局所的に一様にLipschitz(>>466)である。
よって、>>515より、ψ(t, x) は J×V 上で連続である。

(続く)