補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。
Ψ: GL(E) → GL(E) を Ψ(T) = T^(-1) で定義する。

このとき、Ψ は C^∞級である。

証明
>>51より、dΨ(S)(T) = -S^(-1)TS^(-1) である。

双線型写像 B: L(E, E)^2 → L(L(E, E), L(E, E)) を、
B(S_1, S_2)(T) = -(S_1)T(S_2) により定義する。

dΨ(S)(T) = B(S, S)(T) である。
即ち、
dΨ(S) = B(S, S) である。

|B(S_1, S_2)(T)| = |(S_1)T(S_2)| ≦ |S_1||T||S_2|
よって、B は連続である。
過去スレ014の807より、B はC^∞級である。
よって、Ψ は C^∞級である。
証明終