>>465の命題の証明の方針を述べる。

K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を連続写像とする。
(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

f が>>458の条件を満たせば>>458より、
x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
各 x ∈ V に対して J から U への写像 t → g(t, x) で
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の解であり g(t_0, x) = x となるものが
一意に存在する。

ここで、g(t, x) の x に関する偏微分可能性を問題にしよう。
I×U の各点 (t, x) で (d_2)f(t, x) と、(d_2)g(t, x) が存在すると仮定する。
ここで、(d_2)f(t, x) および (d_2)g(t, x) は x に関する偏微分である
(過去スレ014の833)。

dg/dt = f(t, g(t, x)) の両辺を x に関して偏微分すると
d_2(dg(t, x)/dt) = (d_2)f(t, g(t, x))(d_2)g(t, x)
この左辺は後に示すように d((d_2)g(t, x))/dt に等しい。
よって、d((d_2)g(t, x))/dt = (d_2)f(t, g(t, x))(d_2)g(t, x)

即ち、(d_2)g(t, x) は微分方程式 dT/dt = (d_2)f(t, g(t, x))T の解である。
ここで T(t) は t ∈ J から L(E, E) への写像であり、
(d_2)f(t, g(t, x))T は L(E, E) における線型写像の合成である。

g(t_0, x) = x であるから (d_2)g(t_0, x) = 1_E である。
ここで 1_E は L(E, E) における恒等写像である。

(続く)