>>509の改良

命題(線型常微分方程式の解のパラメータに関する連続性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
I を R の開区間とする。
V を F の開集合とする。

a(t, μ): I×V → L(E, E) と b(t, μ): I×V → E を連続写像とする。
ここで L(E, E) は E から E への連続な線型写像全体である。
さらに a(t, μ) は I×V 上で有界であるとする。
(t_0, x_0) を I×E の任意の点とする。
このとき連続写像 g: I×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0
b) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = a(t, μ)x + b(t, μ) の I における解である。

証明
μ ∈ V を固定する。
t → a(t, μ) および t → b(t, μ) は共に I で連続である。
よって、>>485より、微分方程式 dx/dt = a(t, μ)x(t) + b(t, μ) の解 g(t, μ) で
g(t_0, μ) = x_0 となり定義域が I となるものが一意に存在する。

(t, x, μ) ∈ I×E×V に対して f(t, x, μ) = a(t, μ)x + b(t, μ) とおく。
a(t, μ) は I×V 上で有界であるから M ＞ 0 があり、
任意の (t, μ) ∈ I×V に対して |a(t, μ)| ≦ M となる。
よって、任意の (t, μ) ∈ I×V と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| = |a(t, μ)(x - y)| ≦ M|x - y|

よって、>>514より g(t, μ) は I×V 上で連続である。
証明終