命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
I を R の開区間とする。
U を E の開集合とし、V を F の開集合とする。
f: I×U×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

1) C ＞ 0 があり、任意の (t, μ) ∈ I×V と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ C|x - y| となる。

2) f(t, x, μ) は μ に関して一様連続である。
即ち、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
|μ - ν| ＜ δ なら任意の (t, x) ∈ I×U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, x, ν)| ＜ ε となる。

g: I×V → U を写像として任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の I における解とする。

このとき、g は I×V 上で連続である。

証明
(t_0, ν) を I×V の任意の点とする。
I(t_0, a) ⊂ I となる a ＞ 0 をとる。
ここで、I(t_0, a) = {t ∈ R; |t - t_0| ≦ a} である。

2) より、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
μ ∈ V(ν, δ) なら任意の (t, x) ∈ I×U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, x, ν)| ＜ ε となる。
ここで、V(ν, δ) = {μ ∈ V; |μ - ν| ＜ δ} である。

(続く)