補題(Gronwallの不等式(>>406)の変種)
I = [a, b] を実数体における有限区間とする。
f を I で連続な実数値関数で I の各点 t で f(t) ≧ 0 とする。
A ＞ 0, B ≧ 0 を定数とする。

I の各点 t で
f(t) ≦ ∫[a, t] (Af(s) + B) ds とする。

このとき、I の各点 t で
f(t) ≦ (B/A) (exp(A(t - a)) - 1)

証明
M = sup{f(s); s ∈ I} とおく。
f はコンパクト区間 I で連続だから M ＜ +∞ である。
t を I の任意の点とする。

f(t) ≦ ∫[a, t] (Af(s) + B) ds ≦ (t - a)(AM + B)

この不等式を f(t) ≦ ∫[a, t] (Af(s) + B) ds の右辺の f(s) に適用して、
f(t) ≦ ∫[a, t] ((s - a)A(AM + B) + B) ds = ((t - a)^2/2)A(AM + B) + B(t - a)

この不等式を f(t) ≦ ∫[a, t] (Af(s) + B) ds の右辺の f(s) に適用して、
f(t) ≦ ((t - a)^3/3!)A^2(AM + B) + AB(t - a)^2/2 + B(t - a)

以下同様にして
f(t) ≦ ((t - a)^n/n!)A^(n-1)(AM + B) + BΣ[1, n-1]A^(k-1)(t - a)^k/k!
≦ ((t - a)^n/n!)A^(n-1)(AM + B) + (B/A)(exp(A(t - a)) - 1)

n → +∞ のとき、
f(t) ≦ (B/A)(exp(A(t - a)) - 1)
証明終