補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。
Ψ: GL(E) → GL(E) を Ψ(T) = T^(-1) で定義する。

このとき、dΨ(S)(T) = -S^(-1)TS^(-1) である。

証明
T → -S^(-1)TS^(-1) は線型写像であるから、
T → S のとき、|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)|/|T - S| → 0 を
証明すればよい。

T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)
= T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)TS^(-1) - S^(-1)
= T^(-1) - S^(-1) - S^(-1) + S^(-1)TS^(-1)
= T^(-1) - S^(-1) - S^(-1)(I - TS^(-1))
= T^(-1)(T - S)S^(-1)(T - S)S^(-1)

よって、
|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)| ≦ |T^(-1)||T - S|^2|S^(-1)|^2

よって、
|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)|/|T - S| ≦ |T^(-1)||T - S||S^(-1)|^2

よって、
T → S のとき、|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)|/|T - S| → 0
証明終