命題(線型常微分方程式の解のパラメータに関する連続性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
I を R の開区間とする。
V を F の開集合とする。

a(t, μ): I×V → L(E, E) と b(t, μ): I×V → E を連続写像とする。
ここで L(E, E) は E から E への連続な線型写像全体である。
a(t, μ) と b(t, μ) は次の条件を満たすとする。

1) a(t, μ) は I×V 上で有界である。

2) b(t, μ) は I×V 上で有界である。

3) a(t, μ) は μ に関して一様連続である。
即ち、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
|μ - ν| ＜ δ なら任意の t ∈ I に対して
|a(t, μ) - a(t, ν)| ＜ ε となる。

4) b(t, μ) は μ に関して一様連続である。

(t_0, x_0) を I×E の任意の点とする。

このとき t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり
連続写像 g: J×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) g(J×V) ⊂ U
b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0
c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = a(t, μ)x + b(t, μ) の J における解である。

(続く)