>>504の続き

よって、
|g(t, μ) - g(t, ν)|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν), ν)| ds|

≦ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, μ), ν)| ds|
+ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ), ν) - f(s, g(s, ν), ν)| ds|

≦ ρ(μ, ν)|t - t_0| + C|∫[t_0, t] |g(s, μ) - g(s, ν)| ds| ← 式 (A)

ⅰ) より、(s, μ) ∈ J×V のとき |g(s, μ) - x_0| ≦ r であるから

任意の s ∈ J と任意の μ, ν ∈ V に対して
|g(s, μ) - g(s, ν)| ≦ 2r

よって、
|g(t, μ) - g(t, ν)| ≦ 2rC|t - t_0| + ρ(μ, ν)|t - t_0|

これを式 (A) に代入すると
|g(t, μ) - g(t, ν)|
≦ 2rC^2|t - t_0|^2/2 + ρ(μ, ν)(|t - t_0| + C|t - t_0|^2/2)

これを繰り返すと(n に関する数学的帰納法により)
|g(t, μ) - g(t, ν)|
≦ 2rC^n|t - t_0|^n/n! + ρ(μ, ν)(Σ[1, n] C^(k-1)|t - t_0|^k/k!)

右辺の n → +∞ とすると |t - t_0|^n/n! → 0 に注意して、
|g(t, μ) - g(t, ν)| ≦ (1/C)ρ(μ, ν)(exp(C|t - t_0|) - 1)
≦ (1/C)ρ(μ, ν)(exp(Cd - 1)

(続く)