>>488の別証

任意の μ ∈ V に対して (t, x) → f(t, x, μ) は
>>499の条件 1) と 2) を満たす。
よって、>>499より、

ⅰ) h(J) ⊂ B(x_0, r)
ⅱ) h(t_0) = x_0

となる微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の解が一意に存在する。
h(J) ⊂ B(x_0, r) の代わりに h(J) ⊂ U としてもよい。

h(t) を g(t, μ) と書く。
g(t, μ) が J×V で連続なことを証明すればよい。
以下の証明でわかるように g(t, μ) は J×V で一様連続である。

dg(t, μ))/dt = f(t, g(t, μ), μ) および g(t_0, μ) = x_0 より、
g(t, μ) = x_0 + ∫[t_0, t] f(s, g(s, μ), μ) ds

一方、>>488の 1) より、f は I×U×V 上で有界であるから、
μ, ν ∈ V のとき、f(t, x, μ) - f(t, x, ν) は I×U 上で有界である。
よって、
ρ(μ, ν) = sup{|f(t, x, μ) - f(t, x, ν)|; (t, x) ∈ I×U} ＜ +∞ である。

(続く)