>>501の続き

次に、x_n(t) が n → +∞ のとき J で一様に収束することを証明する。

x_n(t) = x_0 + Σ[1, n](x_k(t) - x_(k-1)(t))

|x_0 + Σ[1, n](x_k(t) - x_(k-1)(t))|
≦ Σ[1, n]MC^(k-1)|t - t_0|^k/k!

一方、
Σ[1, +∞]MC^(k-1)|t - t_0|^k/k! = (M/C)(exp(C|t - t_0|) - 1)

よって、
級数 x_0 + Σ[1, +∞](x_k(t) - x_(k-1)(t)) は J において一様に絶対収束する。
この級数の値を x(t) とおく。

即ち、一様に lim x_n(t) = x(t) である。
各 x_n(t) は J 上で連続であるから、x(t) は J 上で連続である。

x_n(t) = x_0 + ∫[t_0, t] f(s, x_(n-1)(s)) ds において、
n → +∞ としたときの両辺の極限をとる。
lim x_n(t) = x(t) は一様収束だから ∫ と lim の順序交換が出来て、

x(t) = x_0 + ∫[t_0, t] f(s, x(s)) ds

よって、x(t) は b) と c) を満たす。
B(x_0, r) は E の閉集合で x_n(t) ∈ B(x_0, r) であったから
x(t) ∈ B(x_0, r) となり、x(t) は a) を満たす。

(続く)