>>500の続き

次に |x_n(t) - x_(n-1)(t)| を上から評価する。

|x_n(t) - x_(n-1)(t)|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, x_(n-1)(s)) - f(s, x_(n-2)(s))| ds|
≦ C|∫[t_0, t] |x_(n-1)(s) - x_(n-2)(s)| ds|

よって、|x_1(t) - x_0| ≦ |∫[t_0, t] f(s, x_0) ds| ≦ M|t - t_0|

|x_2(t) - x_1(t)|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, x_1(t)) - f(s, x_0)| ds|
≦ C|∫[t_0, t] |x_1(s) - x_0)| ds|
≦ MC|∫[t_0, t] |s - t_0| ds|
≦ MC|t - t_0|^2/2

一般に、
|x_n(t) - x_(n-1)(t)| ≦ MC^(n-1)|t - t_0|^n/n!
を n に関する帰納法で証明する。

1 ≦ k ≦ n - 1 のとき
|x_k(t) - x_(k-1)(t)| ≦ MC^(k-1)|t - t_0|^k/k!
と仮定する。

|x_n(t) - x_(n-1)(t)|
≦ C|∫[t_0, t] |x_(n-1)(s) - x_(n-2)(s)| ds|
≦ MC^(n-1)|∫[t_0, t] |s - t_0|^(n-1)/(n-1)! ds|
≦ MC^(n-1)|t - t_0|^n/n!

よって、任意の n ≧ 0 に対して、
|x_n(t) - x_(n-1)(t)| ≦ MC^(n-1)|t - t_0|^n/n!
(続く)