>>499の証明
>>488の証明と同様だが念のため一応述べる。

BC(J, E) を J から E への有界な連続写像全体のなすノルム空間とする。
過去スレ007の174より、BC(J, E) はBanach空間である。

x_0 を定値写像と見て x_0 ∈ BC(J, E) と見なす。

x_n ∈ BC(J, E), n = 0, 1, 2, ... を帰納的に
x_n(t) = x_0 + ∫[t_0, t] f(s, x_(n-1)(s)) ds
で定義する。
この定義が意味をもつためには
任意の t ∈ J に対して x_n(t) ∈ U であることが必要である。

x_n(t) ∈ B(x_0, r), n = 0, 1, 2, ... を n に関する帰納法で証明しよう。
n = 0 のときは x_0 ∈ B(x_0, r) である。
n ＞ 0 のとき x_(n-1)(t) ∈ B(x_0, r) と仮定する。

|x_n(t) - x_0| ≦ |∫[t_0, t] f(s, x_(n-1)(s)) ds|
≦ M|t - t_0| ＜ Md ≦ r

よって、x_n(t) ∈ B(x_0, r)

次に各 x_n(t) が J 上で C^1級であることを
n に関する帰納法で証明する。
x_(n-1)(t) は J 上で C^1級であると仮定する。

x_n(t) = x_0 + ∫[t_0, t] f(s, x_(n-1)(s)) ds より、
dx_n/dt = f(t, x_(n-1)(t))
よって、x_n(t) は J 上で C^1級である。

(続く)