>>4の続き

(d^2)f を計算しよう。

p ∈ U
v = (v_1, v_2) ∈ R^2 のとき、
w = (w_1, w_2) ∈ R^2 のとき、

(d^2)f(p)(v, w) = d(df(w))(p)(v)

ここで、df は関数 u → df(u) ∈ L(R^2, R) と見なしている。

>>4と過去スレ014の835より、

d((∂f/∂x)w_1 + (∂f/∂y)w_2)(p)(v)

= d_1((∂f/∂x)w_1 + (∂f/∂y)w_2)(p)v_1
+ d_2((∂f/∂x)w_1 + (∂f/∂y)w_2)(p)v_2

= (∂^2f/∂^2x)(p)v_1w_1 + (∂^2f/∂x∂y)(p)v_1w_2
+ (∂^2f/∂y∂x)(p)v_2w_1 + (∂^2f/∂^2y)(p)v_2w_2

即ち、(d^2)f は ∂^2f/∂^2x, ∂^2f/∂x∂y, ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂^2y を
係数とする２次形式である。