>>491の続き

一般に、
|x_n(t, μ) - x_(n-1)(t, μ)| ≦ MC^(n-1)|t - t_0|^n/n!
を n に関する帰納法で証明する。

1 ≦ k ≦ n - 1 のとき
|x_k(t, μ) - x_(k-1)(t, μ)| ≦ MC^(k-1)|t - t_0|^k/k!
と仮定する。

|x_n(t, μ) - x_(n-1)(t, μ)|
≦ C|∫[t_0, t] |x_(n-1)(s, μ) - x_(n-2)(s, μ)| ds|
≦ MC^(n-1)|∫[t_0, t] |s - t_0|^(n-1)/(n-1)! ds|
≦ MC^(n-1)|t - t_0|^n/n!

よって、任意の n ≧ 0 に対して、
|x_n(t, μ) - x_(n-1)(t, μ)| ≦ MC^(n-1)|t - t_0|^n/n!

次に、x_n(t, μ) が n → +∞ のとき J×V で一様に収束することを証明する。

x_n(t, μ) = x_0 + Σ[1, n](x_k(t, μ) - x_(k-1)(t, μ))

|x_0 + Σ[1, n](x_k(t, μ) - x_(k-1)(t, μ))|
≦ Σ[1, n]MC^(k-1)|t - t_0|^k/k!

一方、
Σ[1, +∞]MC^(k-1)|t - t_0|^k/k! = (M/C)(exp(C|t - t_0|) - 1)

よって、
級数 x_0 + Σ[1, +∞](x_k(t, μ) - x_(k-1)(t, μ)) は一様に絶対収束する。
この級数の値を x(t, μ) とおく。
(続く)