>>490の続き

|x_n(t_1, μ) - x_n(t_2, ν)| ≦
|∫[t_0, t_1]f(s, x_(n-1)(s, μ), μ)ds - ∫[t_0, t_2]f(s, x_(n-1)(s, ν), ν) ds|
≦ |∫[t_1, t_2] |f(s, x_(n-1)(s, μ), μ) - f(s, x_(n-1)(s, ν), ν)| ds|

≦ |∫[t_1, t_2] |f(s, x_(n-1)(s, μ), μ) - f(s, x_(n-1)(s, μ), ν)| ds|
+ |∫[t_1, t_2] |f(s, x_(n-1)(s, μ), ν) - f(s, x_(n-1)(s, ν), ν)| ds|

≦ ε|∫[t_1, t_2] ds| + C|∫[t_1, t_2] |x_(n-1)(s, μ) - x_(n-1)(s, ν)| ds|
≦ √ε|t_1 - t_2| + C√ε|t_1 - t_2| = (C + 1)√ε|t_1 - t_2|

よって、|μ - ν| ＜ δ かつ |t_1 - t_2| ＜ √ε なら
|x_n(t_1, μ) - x_n(t_2, ν)| ≦ (C + 1)ε

よって、x_n(t, μ) は J×V 上で一様連続である。

次に |x_n(t, μ) - x_(n-1)(t, μ)| を上から評価する。

|x_n(t, μ) - x_(n-1)(t, μ)|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, x_(n-1)(s, μ), μ) - f(s, x_(n-2)(s, μ), μ)| ds|
≦ C|∫[t_0, t] |x_(n-1)(s, μ) - x_(n-2)(s, μ)| ds|

よって、|x_1(t, μ) - x_0| ≦ |∫[t_0, t] f(s, x_0, μ) ds| ≦ M|t - t_0|

|x_2(t, μ) - x_1(t, μ)|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, x_1(t, μ), μ) - f(s, x_0, μ)| ds|
≦ C|∫[t_0, t] |x_1(s, μ) - x_0)| ds|
≦ MC|∫[t_0, t] |s - t_0| ds|
≦ MC|t - t_0|^2/2

(続く)