>>489の続き

x_n(t, μ) ∈ B(x_0, r), n = 0, 1, 2, ... を n に関する帰納法で証明しよう。
n = 0 のときは x_0 ∈ B(x_0, r) である。
n ＞ 0 のとき x_(n-1)(t, μ) ∈ B(x_0, r) と仮定する。

|x_n(t, μ) - x_0| ≦ |∫[t_0, t] f(s, x_(n-1)(s, μ), μ) ds|
≦ M|t - t_0| ＜ Md ≦ r

よって、x_n(t, μ) ∈ B(x_0, r)


次に各 x_n(t, μ) が J×V 上で一様連続であることを
n に関する帰納法で証明する。
x_(n-1)(s, μ) についてはこれが成り立つと仮定する。
特に、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
|μ - ν| ＜ δ なら任意の t ∈ J に対して
|x_(n-1)(t, μ) - x_(n-1)(t, ν)| ＜ √ε

このとき、δ を十分小さくとり、3) より |μ - ν| ＜ δ なら
任意の (t, x) ∈ I×U に対して |f(t, x, μ) - f(t, x, ν)| ＜ √ε と仮定してよい。

(続く)