B(δ) は完備だから縮小写像の不動点定理(>>41)より、
g_y は不動点を一意に持つ。
この不動点 x は f(x) = y の B(δ) における一意解である。
g_y(x) = x であり、g_y : B(δ) → U(δ) であるから x ∈ U(δ) である。

V = U(δ) ∩ f^(-1)(U(δ/2)) とおく。
f は U において連続だから V は E の開集合である。

f(V) ⊂ U(δ/2) であるが、任意の y ∈ U(δ/2) に対して f(x) = y となる
x ∈ U(δ) があるから f(V) = U(δ/2) である。
不動点の一意性より、f の V への制限 f|V は単射である。
即ち、f|V : V → U(δ/2) は全単射である。
f|V の逆写像を h とする。
h の連続性を証明することが残っている。

y ∈ U(δ/2) かつ x, z ∈ B(δ) のとき、|g_y(x) - g_y(z)| ≦ (1/2)|x - z|
であった。
V ⊂ B(δ) であるから、
y ∈ U(δ/2) かつ x, z ∈ V のとき、|g_y(x) - g_y(z)| ≦ (1/2)|x - z|

y = 0 とすれば、x, z ∈ V のとき、|g(x) - g(z)| ≦ (1/2)|x - z|
即ち、|x - f(x) - z + f(z)| ≦ (1/2)|x - z|
よって、
|x - z| - |f(x) - f(z)| ≦ (1/2)|x - z|
よって、
(1/2)|x - z| ≦ |f(x) - f(z)|
即ち、
|x - z| ≦ 2|f(x) - f(z)|
よって、
|h(f(x)) - h(f(x))| ≦ 2|f(x) - f(z)|
よって、h は連続である。
証明終