>>488の続き

d = min(a, r/M) とおく。
J = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ d} とおく。

このとき t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり
連続写像 g: J×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) g(J×V) ⊂ B(x_0, r)
b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0
c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

なお、a) の代わりに g(J×V) ⊂ U としてもよい。

証明
BC(J×V, E) を J から E への有界な連続写像全体のなすノルム空間とする。
過去スレ007の174より、BC(J, E) はBanach空間である。

x_0 を定値写像と見て x_0 ∈ BC(J×V, E) と見なす。

x_n ∈ BC(J×V, E), n = 0, 1, 2, ... を帰納的に
x_n(t, μ) = x_0 + ∫[t_0, t] f(s, x_(n-1)(s, μ), μ) ds
で定義する。
この定義が意味をもつためには
任意の (t, μ) ∈ J×V に対して x_n(t, μ) ∈ U であることが必要である。

(続く)