命題(線型微分方程式の解の存在範囲)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、I を R の開区間とする。
a: I → L(E, E) と b: I → E を連続写像とする。
ここで L(E, E) は E から E への連続な線型写像全体である。

このとき、任意の (t_0, x_0) ∈ I×E に対して
微分方程式 dg/dt = a(t)g(t) + b(t) の解 g で g(t_0) = x_0 となり
定義域が I となるものが一意に存在する。

証明
f: I×E → E を f(t, x) = a(t)x + b(t) により定義する。
f は明らかに連続である。

任意の t ∈ I と任意の x, y ∈ E に対して
|f(t, x) - f(t, y)| = |a(t)(x - y)| ≦ |a(t)||x - y|

よって f(t, x) に>>483が適用できる。
証明終