>>442の改良

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とする。
U を E の開集合とする。
f: I×U → E を連続写像で
x に関して局所的に一様にLipschitz(>>466)とする。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。
f は x に関して局所的に一様にLipschitz(>>466)であるから
t_0 ∈ L ⊂ I となる開区間 L と x_0 ∈ V ⊂ U となる開集合 V および、
定数 C ＞ 0 があり、任意の t ∈ L と任意の x, y ∈ V に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ C|x - y| となる。

t → f(t, x_0) は連続だから L を十分小さくとって
sup{f(t, x_0); t ∈ L} = M は有限と仮定してよい。

L = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ a| と仮定する。
V = {x ∈ E; |x - x_0| ＜ r| と仮定する。

0 ＜ d ＜ min(a, 1/C, r/(M + Cr)) となる d を任意に選ぶ。
J = {t ∈ R; |t - t_0| ＜ d} とおく。

このとき写像 g: J → E で次の条件を満たすものが一意に存在する。

a) g(J) ⊂ V
b) g(t_0) = x_0
c) 写像 t → g(t) は微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の J における解(>>468)である。

(続く)