補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。
U を E の開集合で 0 を含むとする。
f : U → E をC^1級写像で f(0) = 0 とする。
さらに、df(0) = I (恒等写像)とする。

このとき、0 ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f を V に制限した写像 f|V は V から f(V) への
位相同型となる。

証明
g(x) = x - f(x) とおく。
dg(0) = 0 である。

f はC^1級であるから dg は連続である。
よって、|x| ≦ δ なら |dg(x)| ≦ 1/2 となるような δ ＞ 0 がある。
平均値の不等式(>>45)より、
|x| ≦ δ なら |g(x)| ≦ δ/2 である。

ε ＞ 0 に対して B(ε) = {x ∈ E; |x| ≦ ε}, U(ε) = {x ∈ E; |x| ＜ ε}
とおく。

y ∈ U(δ/2) に対して g_y(x) = y + g(x) とおく。
x ∈ B(δ) のとき、|g_y(x)| ≦ |y| + |g(x)| ＜ δ/2 + δ/2 = δ
よって、g_y : B(δ) → U(δ) である。

x ∈ B(δ) のとき、|d(g_y)(x)| = |dg(x)| ≦ 1/2
平均値の不等式(>>46)より、
x, z ∈ B(δ) のとき、|g_y(x) - g_y(z)| ≦ (1/2)|x - z|
(続く)