次の命題は>>398に対応する。

命題(極大解の存在と一意性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を連続写像で
x に関して局所的に一様にLipschitz(>>466)とする。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

このとき微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の極大解(>>471) h で
その定義域が t_0 を含み g(t_0) = x_0 となるものが一意に存在する。

証明
>>398の証明と同様である。