次の命題を証明しよう。
これはかなり難しいのでいくつかのステップに分けて証明する。

命題(正規型微分方程式の解の初期値に関する微分可能性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を次の条件を満たす連続写像とする。

1) f は I×U 上で有界である。

2) C ＞ 0 があり、任意の t ∈ I と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x) - f(t, y)| ≦ C|x - y| となる。

3) I×U の各点 (t, x) で (d_2)f(t, x) が存在し、I×U 上で一様連続である。
ここで、(d_2)f(t, x) は x に関する偏微分である(過去スレ014の833)。

4) (d_2)f(t, x) は I×U 上で有界である。
即ち、M ＞ 0 があり、任意の (t, x) ∈ I×U に対して |(d_2)f(t, x)| ≦ M となる。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

>>458より、x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I があり、
各 x ∈ V に対して J から U への写像 t → g(t, x) で
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の解であり g(t_0, x) = x となるものが
一意に存在する。

>>462より、J×V から U への写像 (t, x) → g(t, x) は連続かつ
x に関して一様連続である。

このとき、J×V の各点 (t, x) で (d_2)g(t, x) が存在し、
(d_2)g(t, x) は J×V 上で連続である。